通过拓展费马大定理背后的关键洞见，四位数学家在构建数学的“大统一理论”方面取得了巨大进展。
新的证明表明，两个相距遥远的数学领域总是能够相互匹配
1994年，一场证明的地震震撼了整个数学界。数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）终于解决了费马大定理，这是数论中一个核心问题，三百多年来一直未被攻克。这一证明不仅让数学家们为之着迷，还登上了《纽约时报》的头版。
然而，为了实现这一成就，怀尔斯首先必须证明一个更为微妙的中间命题——一个其影响超越了费马难题的命题。（在数学家理查德·泰勒Richard Taylor的帮助下）
这个中间证明涉及证明一种重要的方程——椭圆曲线——总是可以与一种完全不同的数学对象——模形式——联系在一起。怀尔斯和泰勒本质上开启了一个连接不同数学领域之间的通道，揭示出每一个领域都像是另一个领域的扭曲镜像。如果数学家们想要了解关于椭圆曲线的某些内容，怀尔斯和泰勒表明，他们可以进入模形式的世界，找到并研究他们对象的镜像，然后带着他们的结论返回。
这种连接不同世界的关系被称为“模性”。它不仅使怀尔斯能够证明费马大定理，数学家们很快还利用它在各种以前难以解决的问题上取得了进展。
模性也是朗兰兹纲领的基础，这是一组广泛的猜想，旨在发展数学的“大统一理论”。如果这些猜想是正确的，那么除了椭圆曲线之外的各种方程都将类似地与它们镜像领域的对象联系在一起。数学家们将能够自由地在这些世界之间跳跃，以回答更多的问题。
然而，证明椭圆曲线与模形式之间的对应关系一直极为困难。许多研究者认为，建立一些更复杂的对应关系是不可能的。
现在，一个由四位数学家组成的团队证明了他们是错误的。今年2月，这个四人小组终于成功地将模性联系从椭圆曲线扩展到更复杂的方程——阿贝尔曲面。该团队——芝加哥大学的弗兰克·凯莱加里（Frank Calegari）、伦敦帝国理工学院的乔治·博克瑟（George Boxer）和托比·吉（Toby Gee）以及法国国家科学研究中心的文森特·皮洛尼（Vincent Pilloni）——证明了属于某一主要类别的每一个阿贝尔曲面总是可以与一个模形式联系在一起。
“我们大多相信所有这些猜想都是正确的，但看到它们真正得以实现，实在是太令人兴奋了。”伦敦帝国理工学院的数学家阿纳·卡拉扬（Ana Caraiani）说，“尤其是在那些你原本以为根本无法触及的情况中。”
这仅仅是开始一场将持续多年的探索——数学家们最终的目标是证明每一个阿贝尔曲面的模性。但这一成果已经能够帮助回答许多悬而未决的问题，正如证明椭圆曲线的模性开启了各种新的研究方向一样。
穿越镜像
椭圆曲线是一种特别基础的方程类型，它仅使用两个变量——x 和 y。如果你绘制它的解，你会看到看似简单的曲线。但这些解之间存在着丰富而复杂的关系，并且它们出现在数论中许多最重要的问题中。例如，比尔奇和斯温纳顿-戴尔猜想——数学中最难解决的开放性问题之一，谁先证明它就能获得100万美元的奖金——就是关于椭圆曲线解的性质的。
椭圆曲线直接研究起来可能会很困难。因此，有时数学家更倾向于从不同的角度来研究它们。
这时模形式就派上用场了。模形式是一种高度对称的函数，出现在数学研究中一个看似独立的领域——分析学中。由于它们具有许多优美的对称性，模形式更容易操作。
一开始，这些对象似乎看起来毫无关联。但泰勒和怀尔斯的证明揭示了每一个椭圆曲线都对应于一个特定的模形式。它们有一些共同的性质——例如，描述椭圆曲线解的一组数字也会出现在其对应的模形式中。因此，数学家可以利用模形式来获得关于椭圆曲线的新见解。
然而，数学家们认为泰勒和怀尔斯的模性定理只是普遍事实的一个特例。除了椭圆曲线之外，还存在一个更广泛的数学对象类别。所有这些对象也应该在模形式等对称函数的更广阔世界中有一个对应的伙伴。这本质上就是朗兰兹纲领的核心所在。
椭圆曲线只有两个变量——x 和 y，因此可以在一张平面上绘制。但如果你再增加一个变量 z，就会得到一个存在于三维空间中的曲面。这个更复杂的对象被称为阿贝尔曲面，就像椭圆曲线一样，它的解也具有精巧的结构，而数学家们希望理解这种结构。
似乎很自然，阿贝尔曲面应该对应于更复杂的模形式类型。但额外的变量使它们的构造变得更加困难，其解也更难找到。证明它们也满足模性定理似乎完全无法实现。“这是一个众所周知的问题，最好不要去想它，因为人们已经思考过这个问题，但都陷入了困境。”吉（Gee）说。
但博克瑟（Boxer）、凯莱加里（Calegari）、吉（Gee）和皮洛尼（Pilloni）想要尝试。
寻找一座桥梁
这四位数学家都参与了朗兰兹纲领的研究，他们希望为“一个在现实生活中真正出现的对象，而不是某种奇怪的东西”证明其中一个猜想，凯莱加里说。
阿贝尔曲面不仅出现在现实生活中——当然，是数学家的现实生活中——而且证明关于它们的模性定理将打开新的数学大门。“如果你有了这样的陈述，你可以做很多事情，否则你就没有机会做到。”凯莱加里说。
数学家们从2016年开始合作，希望在关于阿贝尔曲面的证明中遵循泰勒和怀尔斯在椭圆曲线证明中所采取的相同步骤。但这些步骤对于阿贝尔曲面来说每一个都更加复杂。
因此，他们专注于一种特定类型的阿贝尔曲面，即普通阿贝尔曲面（ordinary abelian surface），这种曲面更容易操作。对于任何这样的曲面，都有一组数字描述其解的结构。如果他们能够证明这组数字也可以从一个模形式中推导出来，那么他们的任务就完成了。这些数字将作为一个独特的标识，使他们能够将每一个阿贝尔曲面与一个模形式配对。
问题是，尽管这些数字对于一个给定的阿贝尔曲面来说很容易计算，但数学家们不知道如何构建一个具有完全相同标识的模形式。当要求如此严格时，模形式的构建实在是太困难了。“你正在寻找的那些对象，你甚至不知道它们是否存在。”皮洛尼说。
相反，数学家们证明了，构建一个其数字在较弱意义上与阿贝尔曲面的数字相匹配的模形式就足够了。模形式的数字只需要在所谓的“时钟算术”领域中是等价的。
想象一个时钟：如果时针从10点开始，经过4小时，时钟会指向2点。但时钟算术可以用任何数字进行，而不仅仅是（像现实世界中的时钟那样）数字12。
博克瑟（Boxer）、凯莱加里（Calegari）、吉（Gee）和皮洛尼（Pilloni）只需要证明，当他们使用一个数字达到3的“时钟”时，他们的两组数字是匹配的。这意味着对于一个给定的阿贝尔曲面，数学家们在构建相关模形式时有更多的灵活性。
但即便如此，这也被证明太难了。
后来，他们偶然发现了一批模形式，其对应的数字很容易计算——只要他们根据一个数字达到2的“时钟”来定义他们的数字。但阿贝尔曲面需要的是一个数字达到3的“时钟”。
数学家们大概知道如何在这两种不同的“时钟”之间架起一座桥梁。但他们不知道如何使这种联系无缝对接，以便在模形式的世界中为阿贝尔曲面找到一个真正的匹配。随后，一个新的数学成果出现，结果这正是他们所需要的。
意外的帮助
2025年，一位名叫潘略（Lue Pan）的数论学家发表了一篇关于模形式的证明，最初似乎与四人小组的问题并无关联。但他们很快意识到他所开发的技术出人意料地相关。“我没有预料到这一点。”潘略说。
潘略：普林斯顿大学数学系的助理教授。此前，潘略在芝加哥大学担任博士后。2018年于普林斯顿大学完成了博士学位，导师是理查德·泰勒教授（Richard Taylor）。再之前，本科毕业于北京大学。自述对代数数论感兴趣，尤其是朗兰兹纲领的p进制方面。
经过多年的定期会议，主要通过Zoom进行，数学家们开始在适应潘略的技术方面取得进展，但主要障碍仍然存在。随后，在2023年夏天，博克瑟（Boxer）、吉（Gee）和皮洛尼（Pilloni）认为在德国波恩的一次会议是聚在一起的绝佳机会。唯一的问题是，凯莱加里（Calegari）本应同时前往中国发表演讲。然而，一次艰难的芝加哥中国领事馆访问让他改变了主意。“八小时后，我的签证被拒签，我的车也被拖走了。”他说。他决定放弃中国的演讲，加入他在德国的合作者。
吉为团队在豪斯多夫研究中心的地下室预订了一个房间，在那里他们不太可能被四处走动的数学家打扰。在那里，他们花了整整一周的时间研究潘略的定理，一天又一天地工作12小时，偶尔才到地面补充点咖啡因。“喝完咖啡后，我们总是开玩笑说我们得回到矿井里去。”皮洛尼说。
辛勤的努力得到了回报。“后面还有很多曲折。”凯莱加里说，“但在那一周结束时，我认为我们或多或少已经解决了问题。”
又花了整整一年半的时间，他们才将凯莱加里的信念转化为一份230页的证明，并于2月发布到网上。将所有这些碎片拼凑在一起，他们证明了任何普通阿贝尔曲面都存在一个对应的模形式。
他们的新通道有朝一日可能会像泰勒和怀尔斯的结果一样强大，揭示出关于阿贝尔曲面的更多内容，比任何人想象的都要多。但首先，团队将不得不将他们的结果扩展到非普通阿贝尔曲面。他们已经与潘略（Lue Pan）联手继续寻找。“十年后，如果还没有找到几乎所有的阿贝尔曲面，我会感到惊讶的。”吉（Gee）说。
这项工作还使数学家能够提出新的猜想——例如一个类似于比尔奇和斯温纳顿-戴尔猜想的版本，涉及阿贝尔曲面而不是椭圆曲线。“现在我们至少知道，这种类似猜想对于普通阿贝尔曲面是有意义的，”麻省理工学院的数学家安德鲁·苏瑟兰（Andrew Sutherland）说。“以前我们并不知道这一点。”
“许多我曾经梦想有一天能够证明的东西，现在因为这个定理而触手可及。”他补充道。“这改变了局面。”
