如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4.在BC的上方作△BCD，使BD=BC，BD交AC于点E.若∠D=∠A，则AE的长为_______.
一、拓展已知条件
AB=2，BC=4，由勾股定理，可得AC=2√5
BC=BD=4，△BCD中作CD边或BC边上的高，易得CD=8/√5
（不写成8√5/5是因为中间过程8/√5更简洁，计算可能会更简单）
由两角相等可得△ABE∽△DCE
由∠A=∠D可联想到四点共圆
二、不同解法
1、相似+方程组
过点B作BF⊥CD于点F
由tanD=tanA=2，BD=BC=4 可得DF=4/√5，CD=2DF=8/√5
设AE=x，DE=y，则BE=4-y，CE=2√5-x
∵△ABE∽△DCE ∴AB/DC=AE/DE=BE/CE
即2:8/√5=x:y=(4-y):(2√5-x) 解得x=6√5/11
（也可以一开始就把DE用AD表示，则只需要设x解方程即可）
2、四点共圆+歪8双相似
∠BAC=∠BDC，同侧等角，四点共圆
∴∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE，AD=6/√5
∴△ADE∽△BCE ∴DE/CE=AD/BC=3/(2√5)
∵△ABE∽△DCE ∴AE/DE=AB/DC=√5/4
∴AE/CE=3/8 ∴AE=3/11AC=6√5/11
3、勾股定理+正8相似
过点D作DF⊥BC于点F，交AC于点G
设CF=x，则BF=4-x，DF=2x
在RT△BDF中，由勾股定理，得
(2x)^2+(4-x)^2=4^2 解得x=8/5(取正)
∴CF=8/5，DF=16/5，GF=4/5，CG=4√5/5
∴DG=12/5，AG=6√5/5
∵△ABE∽△DGE ∴AE/GE=AB/GD=5/6
∴AE=5/11AG=6√5/11
4、解三角形、三角函数
在△ABE中，tanA=2，AB=2，只要求出tan∠ABE，就能解出AE
可以在方法3的基础上，由∠ABE=∠BDF，得出tan∠ABE=3/4
也可以由∠ABE=∠DCE，用几何法直接求出tan∠DCE
CF、FG、DG长不必按实际长度计算，只要符合tan∠DCF=2，tan∠GCF=1/2即可
过点E作EH⊥AB于点H（为了方便，单独把这个三角形画出来）
在RT△EAB中，tanA=2，tanB=3/4，AB=2
设AH=3m，EH=6m，BH=8m
则AB=11m=2，m=2/11
AE=3√5m=6√5/11
也可以在△BCE中，由tan∠EBC=4/3，BC=4，tan∠BCE=1/2，先求出CE，再求AE.解法类似，不再赘述.
5、12345模型+相似
tan∠BDC=tanA=2，tan∠DBF=1/2
由12345模型，知tan∠GBC=4/3
∴CG=4/3BC=16/3
∵△ABE∽△CGE ∴AE/CE=AB/CG=3/8
∴AE=3/11AC=6√5/11
6、解析法（坐标法）
直线BD解析式为 y=4/3x
直线AC解析式为y=-1/2x+2
联立方程组，得x=12/11，y=16/11
∴E(12/11,16/11) ，A(0,2)
由两点间距离公式，可得 AE=6√5/11
三、小结1、等腰最常见辅助线——三线（通常作高）
2、歪8相似侧边已知通常需要解方程组
3、构造相似时，优先构造正A正8相似，避免构造歪A歪8相似，因为通常前者计算量较小，比如本题中的方法3和方法5计算量就明显小于方法1.
4、当存在互相垂直的边，且建立平面直角坐标系后，各点的坐标容易求得的前提下，可以尝试用解析法，但通常情况下，解析法计算量会更大.
