从LEO运力换算SSO运力
问题
解析模型
一次加速模型1——近地点加速模型
二次加速模型1——霍曼变轨模型
二次加速模型2——有限时长变轨模型
总结
01
问题
知道LEO运力，SSO运力大约为多少？我们经常会碰到这种问题，标准答案是不知道，每种火箭不一样。譬如CZ-2C，LEO运力是4t，700kmSSO为1.3t，而加了远程上面级可达到2.5t，不同火箭不一样，没有标准换算方法。
除了弹道计算，能否通过半定量分析得到？高轨运力如何优化？本文对此进行了研究。
02
解析模型
设火箭LEO运力为m，为了发射其它轨道，假设先发射到LEO，然后变轨到对应轨道，最终轨道运载能力为λm。那么发射到LEO时的重量仍然为m，此时剩余推进剂量为m-λm，不考虑蒸发、预冷、排放、沉底等损失时，剩余推进剂就是用于变轨的推进剂（假设变轨在短时间完成，无重力损失）。
设火箭末级结构质量为M0，比冲为Isp，则
令得到
因此知道末级结构干重，就可以折算出新轨道运力。
当然，这个公式有成立的前提：
推进剂足够多，否则不足以产生足够的速度增量。如CZ-2CSMA，它的固体末级只装了120kg推进剂，考虑末级自身840kg的干重，以及600kmSSO能力为1.9t，只能提供2814*log(2.86/2.74)=120m/s的速度增量，恰好提供200x600km椭圆轨道远地点112m/s的变轨速度，如果大于这个速度增量，公式就已经不再适用了。
如果涉及二次变轨，第二次变轨的工作时间可调才可使用此公式，否则如采用固体推进剂，或固定二次工作时间，则无法很好匹配两次速度增量，造成运力损失。
图 运力换算系数与末级结构卫星质量比等关系图
从公式可以看出：
1）ν更小，即速度增量更小或发动机比冲更大，换算系数更大；
2）末级结构干重与卫星重量比ξ更小，换算系数更大；
3）当ξ为0时，折算系数取最大值(1-ν)/(1+ν)。
如果查不到其它火箭的结构末级干重，可以通过一些经验参数组合进行估计。设火箭基础级质量为M1，末级湿重为M，结构系数为η，假设M1/M=k，火箭运载效率为ε。则
可以求得
这些参数有经验值，如一般η在0.03-0.15之间，ε在0.02到0.04之间，对于二级火箭k在3到5之间，对于三级火箭k在10到100之间。因此可以估计得到ξ。
由于ξ更小，换算系数更大，因此结构系数η更小，或者末级质量比k或运载系数ε更大，折算系数更大。
此处取一个基本工况：η=0.1，ε=0.02，k=4，可以计算得到ξ=1。在Isp=3000，dv=600时，λ=0.6411。在基本工况附近对η、ε、k、Isp和dv进行遍历，可以得到运力折算曲线见下图。
图 不同参数组合下运力折算系数曲线
03
一次加速模型1
——近地点加速模型
拿几个型号进行验证。猎鹰9号的LEO运力为22.8t，GTO运力为8.3t，MTI运力为4.02t。
对于椭圆轨道，近地点速度公式为。对于GTO轨道，带入可以计算出185x36000km椭圆轨道近地点速度为10256m/s，相对于185km圆轨道的7793m/s，增量为2462m/s，MTI计算复杂一些，大约为4000m/s。
因此猎鹰9的ε为22.8/545=0.0418，k大约为4，它的二级结构很轻，结构系数为0.04，从而ξ=0.19。发动机比冲为3413m/s，可计算出GTO和MTI折算运力为8.94t和4.18t，与8.3t和4.02t接近，误差7.7%和4.0%。
继续使用这个公式。在《世界航天运载器大全》中，有CZ-4C不同轨道高度的运力信息。
图 CZ-4C运载能力曲线
从图中可以查出近地点分别为300km、500km和800km处的运力，计算出不同椭圆轨道处的速度增量，再利用大全里给出的末级质量为1.83t，从发动机比冲Isp=2971m/s可以换算得到运力见下表。
表 CZ-4C不同远地点高度运力换算
近地点高度300km | ||||
远地点高度(km) | 运力(t) | 速度增量(m/s) | 换算运力(t) | 误差 |
1000 | 3.45 | - | - | - |
2000 | 3.02 | 234 | 3.04 | 0% |
3000 | 2.67 | 434 | 2.72 | 1% |
4000 | 2.40 | 607 | 2.46 | 2% |
5000 | 757 | 2.24 | ||
近地点高度500km | ||||
远地点高度(km) | 运力(t) | 速度增量(m/s) | 换算运力(t) | 误差 |
1000 | 3.18 | - | - | - |
2000 | 2.80 | 233 | 2.80 | 0% |
3000 | 2.49 | 432 | 2.49 | 0% |
4000 | 2.24 | 604 | 2.24 | 0% |
5000 | 2.03 | 754 | 2.04 | 0% |
近地点高度800km | ||||
远地点高度(km) | 运力(t) | 速度增量(m/s) | 换算运力(t) | 误差 |
1000 | 2.84 | - | - | - |
2000 | 2.54 | 231 | 2.49 | -2% |
3000 | 2.28 | 429 | 2.20 | -3% |
4000 | 2.05 | 600 | 1.97 | -3% |
5000 | 1.84 | 749 | 1.78 | -2% |
04
一次加速模型2
——初速度补偿模型
同样高度轨道，LEO和SSO的换算呢？CZ-2C用户手册给出了在酒泉发射中心运力如下。
图 CZ-2C运力曲线
表 CZ-2C不同轨道高度和倾角下运力(读图获得)
轨道高度(km) | 200 | 300 | 400 |
SSO运力(t) | 2.61 | 2.28 | 1.88 |
50°倾角运力 | 3.62 | 3.25 | 2.83 |
63°倾角运力 | 3.37 | 3.00 | 2.59 |
86°倾角运力 | 2.88 | 2.52 | 2.10 |
地球赤道自转速度6378e3*2*pi/24/3600=464m/s，200、300和400kmSSO轨道的轨道倾角分别为96.32°，96.67°和97.03°，则对不同倾角，如50°倾角轨道，需要的速度增量分别464*cosd(50)-464*cosd([96.3296.6797.03])=[349.3352.1355.0]。
注：火箭在不同发射场，射向公式为sin(μ)=cos(i)/cos(φ)，其中i为轨道倾角，φ为发射场纬度，因此地球自转提供角速度为dv=464*cos(φ)*sin(μ)=464*cos(i)仅与轨道倾角有关，而与发射场无关。
假定这个速度增量完全由末级提供，则采用之前计算公式就可以进行计算。这里CZ-2C游机比冲为2834m/s，二级重量按5t计算。
表 CZ-2C不同倾角下运力到SSO换算
50°倾角 | |||
轨道高度(km) | 200 | 300 | 400 |
运力(t) | 3.62 | 3.25 | 2.83 |
速度增量(m/s) | 349.39 | 352.16 | 355.04 |
换算SSO运力(t) | 2.62 | 2.28 | 1.91 |
误差 | 0.10% | 0.27% | 1.18% |
63°倾角 | |||
轨道高度(km) | 200 | 300 | 400 |
运力(t) | 3.37 | 3.00 | 2.59 |
速度增量(m/s) | 261.78 | 264.56 | 267.43 |
换算SSO运力(t) | 2.63 | 2.29 | 1.91 |
误差 | 0.53% | 0.31% | 1.15% |
86°倾角 | |||
轨道高度(km) | 200 | 300 | 400 |
运力(t) | 2.88 | 2.52 | 2.10 |
速度增量(m/s) | 83.52 | 86.29 | 89.17 |
换算SSO运力(t) | 2.65 | 2.29 | 1.88 |
误差 | 1.46% | 0.64% | -0.05% |
05
二次加速模型1
——霍曼变轨模型
上述轨道，只需要使用末级直接加速即可，如果需要变轨到更大直径圆轨道，将需要末级二次加速。考虑霍曼变轨中间轨道（图中红色），近地点和远地点速度分别为
图 霍曼变轨
如土星5的运载能力：卡纳维拉尔角发射场发射，轨道倾角28.5°，185km圆轨道的有效载荷运载能力为120t，地球同步转移轨道为60t，地球同步轨道为30t。土星5号三子级S-IVB干重为11.5t，比冲为4217m/s。计算两次变轨需要速度增量见下表所示。
表 霍曼变轨速度增量
近地点 | 远地点 | 速度增量 | |
高度(km) | 185 | 36000 | - |
近地点圆速度(m/s) | 7793.23 | - | - |
椭圆轨道速度(m/s) | 10255.72 | 1588.28 | 2462.49(GTO) |
远地点圆速度(m/s) | - | 3066.89 | 1478.61 |
变倾角速度增量(m/s) | - | - | 781.92 |
总速度增量 | - | - | 4723.02(GEO) |
其中，由于卡角纬度为28.5°，进入GEO轨道需改变轨道倾角，改变轨道倾角所需的速度增量与轨道速度成正比：
由于大椭圆中间轨道的远地点速度最小，为1588m/s，在此处改变倾角效率最高，所需速度增量为2*1588*sin(28.5/2)=782m/s。
利用上述信息，从LEO运力可以换算出GTO和GEO运力分别为61.8t和31.4t，误差3%和5%。
06
二次加速模型2
——有限时长变轨模型
从CZ-4C运力图上可以查出太阳同步轨道运力见下表，从400km高度运力计算其它运力。从计算结果看，随着轨道高度增加，误差越来越大。
表 400km轨道处变轨换算速度增量
轨道高度(km) | 运力(t) | 变轨速度增量(m/s) | 换算运力(t) | 误差 |
400 | 3.48 | - | - | |
600 | 3.11 | 110.7 | 3.29 | 6% |
800 | 2.79 | 216.7 | 3.11 | 11% |
1000 | 2.52 | 318.3 | 2.94 | 17% |
1200 | 2.29 | 415.8 | 2.79 | 22% |
1400 | 2.08 | 509.3 | 2.64 | 27% |
1600 | 1.90 | 599.2 | 2.51 | 32% |
针对这个差异，可以直接排除发动机比冲因素，首先怀疑是末级质量不准，譬如末级会预留防旋防塌量、晃动量、安全余量，以及滑行段沉底等，实际使用的末级质量比结构质量要略大一些。但简单计算发现，末级重量增加10%，折算运力影响不大，除非增大到5t，换算运力与实际才接近，但一个16t的起飞重量，最后留下5t的死重，假设基本不合理，计算表格很简单，这里就不贴出了。
排除起飞重量因素，还剩下速度增量，对于GTO轨道和MTI轨道，可以从低轨直接加速，对于土星5号，三子级滑行时间可长达6h，对于地球附近圆轨道可以采用霍曼变轨。但有些火箭无法滑行这么长时间，只能在到达远地点之前切进大圆。
如下图所示，从r1圆轨道变轨到r2圆轨道，最省能量的路径为图中红色轨道，但此轨道耗时较长，如一般近地轨道卫星旋转一圈90min，则变轨需要45min，约合2700s，滑行时间较长，给测控、热控、能源、推进剂管理带来较大困难。
图 加速变轨和切入变轨图
一种方式是走图中蓝色轨道，即开始加速更大，抬高远地点，这样，轨道可以提前与r2相交（图中蓝色五角星），在交点变轨到r2轨道，以损失能量的方式来减小滑行时间。
将CZ-4C从400km圆轨道按蓝色变轨方式变到600km，在不同滑行时间下换算运力见下表。
表 CZ-4C按蓝色轨道变轨换算运力(400km->600km)
滑行时间(s) | 变轨需要速度增量(m/s) | 换算运力(t) | 误差 |
2838 | 110.69 | 3.29 | 6% |
2000 | 185.54 | 3.16 | 16% |
1000 | 559.15 | 2.57 | -17% |
550 | 1424.04 | 1.46 | -53% |
CZ-4C真实滑行时间约550s，此时换算轨道运力远小于实际运力，因为这种变轨方式不是最优的。
最优轨道如图中绿色所示轨道，它并不和r1轨道相切，而是直接掠过此轨道往更高轨走，这时候主动段轨道的近地点可以为负值，从而节约了能量。与相切变轨相比，掠过变轨的速度增量很难通过半定量计算，这里仅给出一条变轨图见下。
图 掠过变轨图
07
总结
至此，我们可以完成文中开头提出的命题，怎么从LEO运力换算SSO运力，总结换算方法如下。换算公式为：
，其中
这里λ为运力折算系数，ν=exp(dv/Isp)-1，ξ为末级干重与卫星重量之比，η为末级结构系数，ε为运载效率，k为基础级与末级起飞重量之比。
LEO换算SSO轨道，需要速度增量dv由两个部分叠加得到：
1）地球自转提供的速度增量，这个增量与两个轨道倾角相关，如从19.6°倾角的LEO换算97°倾角的SSO，需要的速度增量为6378e3*2*pi/24/3600*[cosd(19.6)-cosd(97)]=354.7m/s；
2）从低轨到高轨需要的速度增量，最低需求为霍曼变轨的速度增量，如从200km到500km、700km、1100km分别为172m/s,280m/s,483m/s；
3）上述公式要求滑行段达到霍曼变轨所需时间，火箭实际飞行时，受滑行时间限制，在变轨时无法采用霍曼变轨，只能加速更快地掠过轨道，速度增量需求进一步增加，这部分暂未找到半定量计算方法，只能通过弹道计算分析得到。
从上述过程，可以得到高轨运力优化的方向：
1）结构系数η更小，折算系数更大；
2）运载效率ε更大，折算系数更大；
3）末级重量k占比更小，折算系数更大；
4）末级比冲Isp更大，折算系数更大；
5）滑行段时间更大(直至达到霍曼变轨时间)，折算系数更大。
