你认为某件事发生的可能性大小，取决于你对当前情况已有的认知。这便是贝叶斯法则背后的核心简单概念，这种计算概率的方法于1763年首次提出。如今，一支国际研究团队已揭示出贝叶斯法则在量子世界中的运作方式。
“我认为这是数学物理学领域的一项突破。”新加坡国立大学Valerio Scarani教授表示。他是量子技术中心副主任、首席研究员，同时也是该研究团队的成员。这项研究成果于2025年8月28日发表在《物理评论快报》（Physical Review Letters）上，其共同作者包括中国香港科技大学的Ge Bai助理教授以及日本名古屋大学的Francesco Buscemi教授。
“250年来，贝叶斯法则一直在帮助我们做出更合理的推测。如今，我们为它赋予了一些量子技巧。”Buscemi教授说道。
尽管此前已有研究人员提出过贝叶斯法则的量子类似物，但Scarani教授团队是首个从基本原理推导出量子贝叶斯法则的团队。
条件概率
贝叶斯法则以托马斯・贝叶斯的名字命名，他在《试论机会学说中的一个问题》（An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances）一文中首次定义了条件概率的相关法则。
试想这样一个场景：某人流感检测呈阳性。他可能此前就怀疑自己生病了，但这一新信息会改变他对自身健康状况的判断。贝叶斯法则提供了一种计算流感患病概率的方法，该概率的计算不仅以检测结果和检测出现误判的概率为条件，还会考虑个人的初始认知。
贝叶斯法则将概率解读为对某一事件的信念程度表达。这一观点长期存在争议，因为部分统计学家认为，概率应当是 “客观的”，不应以主观信念为基础。然而，在涉及信念判断的场景中，贝叶斯法则仍被视为有效的推理指南。这也正是它得以广泛应用的原因 —— 从医学诊断、天气预报，到数据科学与机器学习，都能看到它的身影。
最小变化原理
利用贝叶斯法则计算概率时，会遵循 “最小变化原理”。从数学角度而言，该原理旨在最小化初始认知与更新后认知的联合概率分布之间的距离。
从直观上看，这一原理的核心思想是：面对任何新信息，人们对事物的认知会以与新事实相符的最小幅度进行更新。以流感检测为例，检测呈阴性并不意味着检测者一定健康，而只是表明其患流感的可能性有所降低。
在这项研究中，同时任职于新加坡国立大学物理系的Scarani教授、Ge Bai助理教授与Buscemi教授，以最小变化原理的量子类似物为研究起点。他们用量子保真度（衡量量子态间接近程度的指标）来量化认知的变化。
研究人员一直认为量子贝叶斯法则应当存在，因为量子态本身定义了概率。例如，粒子的量子态会给出该粒子在不同位置被探测到的概率。理论上，我们的目标是确定粒子的完整量子态，但实际进行测量时，粒子只会在某一个位置被探测到。而这一新信息会更新我们对粒子量子态的认知，进而提高该探测位置附近的概率。
该团队通过最大化两个 “对象” 之间的保真度，推导出了量子贝叶斯法则。这两个 “对象” 分别代表正向过程与反向过程，类比于经典力学中的联合概率分布。最大化保真度等同于最小化认知变化。研究发现，在某些情况下，他们推导出的方程与 “佩茨恢复映射”（Petz recovery map）完全吻合。佩茨恢复映射由德奈什・佩茨于20世纪 80年代提出，后来仅基于其自身性质，被认定为量子贝叶斯法则最有可能的候选方案之一。
“这是我们首次从更高层次的原理推导出量子贝叶斯法则，这一成果或可为佩茨映射的应用提供合理性佐证。” Scarani教授表示。
佩茨映射在量子计算领域具有潜在应用，可用于量子纠错、机器学习等任务。目前，该团队计划进一步探索：将最小变化原理应用于其他量子度量，是否能发现更多解决方案。
参考链接
https://phys.org/news/2025-08-probability-theorem-quantum-makeover-years.html
