傅里叶变换将函数分解为波状构建块
当我们聆听一段音乐时，耳朵正在进行精密计算。长笛的高音颤鸣、小提琴的中音旋律与低音提琴的深沉嗡鸣，共同在空气中激荡起无数不同频率的压力波。当复合声波沿着耳道传入螺旋状的耳蜗后，不同长度的绒毛会与特定音调产生共振，将混乱的声信号分解为若干基础音素。
直到19世纪，数学家才掌握这种计算方法。
19世纪初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶发现了一种将任意函数分解为一组基础波（即频率）的方法。将这些组成频率重新叠加，就能还原原始函数。这项被称为傅里叶变换的技术，让这位法国大革命的狂热支持者同时掀起了一场数学革命。
从傅里叶变换中衍生出名为调和分析的数学分支，专门研究函数的组成部分。很快，数学家发现调和分析与数论、微分方程、量子力学等数学物理领域存在深刻联系。如今傅里叶变换已应用于计算机领域，实现文件压缩、音频信号增强等功能。
"傅里叶分析对数学的影响难以估量，"纽约大学和弗拉特iron研究所的莱斯利·格林加德表示，"它几乎触及数学、物理、化学等所有领域。"
激情之火
傅里叶出生于 1768 年，当时正值革命前法国的混乱时期。他 10 岁时成为孤儿，在家乡欧塞尔的一座修道院接受教育。在接下来的十年里，他一直在纠结是将自己的一生奉献给宗教还是数学，最终放弃了宗教训练，成为一名教师。他还在法国推动革命努力，直到 1794 年恐怖统治期间，这位 26 岁的年轻人因表达被认为是反革命的信仰而被捕入狱，将被送上断头台。
在参加了法国大革命和拿破仑的一次战役之后，让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶发现了傅里叶变换，彻底改变了数学。
在他被处决之前，恐怖就结束了。因此，在 1795 年，他重新开始教授数学。几年后，他被任命为拿破仑·波拿巴的科学顾问，并在入侵埃及期间加入了他的军队。正是在那里，傅里叶在对埃及古物进行研究的同时，开始了导致他发展转变的工作：他想了解热传导的数学。1801 年，当他回到法国时——就在法国军队被赶出埃及、被盗的罗塞塔石碑向英国人投降之前不久——傅里叶已经想不出别的了。
以金属杆热传导为例：加热一端时，热量会逐渐扩散直至整体温度均衡。傅里叶提出热量分布可表示为简单波的总和。金属冷却时，这些波会因能量衰减逐渐平滑消失——高能高频波最先衰减，低频波随后消失，如同交响乐结束时各声部依次静默，从短笛到低音号渐次沉寂。
这个提议是激进的。据报道，当傅里叶在 1807 年巴黎研究所的一次会议上提出这个观点时，著名数学家约瑟夫-路易斯·拉格朗日宣称这项工作“几乎是不可能的”。
最让他的同龄人感到困扰的是奇怪的情况，热量分布可能非常不规则——就像一根刚好一半冷一半热的杆子。傅里叶坚持认为，温度的突然跳跃仍然可以用数学来描述：它只需要添加无限多的更简单的曲线，而不是一个有限的数字。但当时的大多数数学家认为，再多的平滑曲线加起来也不可能形成一个尖角。
今天，我们知道傅里叶大致上是正确的。
“你可以将任何东西表示为这些非常非常简单的振荡的总和，”他说查尔斯·费弗曼（打开新标签页），普林斯顿大学数学家。“众所周知，如果你有一大堆音叉，并且你把它们设置得完美，它们就可以创作出贝多芬的第九交响曲。”该过程仅适用于最奇怪的功能，例如那些无论您如何放大它们都会剧烈振荡的功能。
那么傅里叶变换是如何工作的呢？
训练有素的耳朵
执行傅里叶变换类似于闻香水并区分其成分列表，或者听到复杂的爵士和弦并区分其组成音符。
从数学上讲，傅里叶变换是一个函数。它采用给定的函数（可能看起来很复杂）作为其输入。然后它产生一组频率作为输出。如果你写下具有这些频率的简单正弦波和余弦波，然后将它们相加，你就会得到原始函数。
为了实现这一目标，傅里叶变换本质上扫描了所有可能的频率，并确定每个频率对原始函数的贡献程度。让我们看一个简单的例子。
考虑以下函数：
傅里叶变换检查每个频率对这个原始函数的贡献程度。它通过将波相乘在一起来做到这一点。如果我们将原始波乘以频率为 3 的正弦波，会发生以下情况：
有很多大峰，这意味着频率 3 对原始函数有贡献。峰的平均高度揭示了贡献有多大。
现在让我们测试频率 5 是否存在。以下是将原始函数乘以频率为 5 的正弦波时得到的结果：
有一些大峰值，但也有大谷。新图的平均值约为零。这表明频率 5 对原始函数没有贡献。
傅里叶变换对所有可能的频率执行此作，将原始函数乘以正弦波和余弦波。（实际上，它使用实数和虚数的组合在复平面上运行此比较。
这样，傅里叶变换就可以将一个看起来很复杂的函数分解为几个数字。这使其成为数学家的重要工具：如果他们被一个问题难住了，他们可以尝试转换它。通常，当翻译成频率语言时，问题会变得简单得多。
如果原始函数具有锋利的边缘，例如下面的方波（常见于数字信号中），傅里叶变换将产生一组无限的频率，当这些频率相加时，这些频率相加时，尽可能接近边缘。这个无限集被称为傅里叶级数，尽管数学家早期对接受这样的东西犹豫不决，但它现在已成为分析函数的重要工具。
傅里叶变换也适用于更高维度的对象，例如图像。您可以将灰度图像视为一个二维函数，它告诉您每个像素的亮度。傅里叶变换将此函数分解为一组 2D 频率。由这些频率定义的正弦波和余弦波形成朝向不同方向的条纹图案。这些图案以及它们的简单组合（类似于棋盘格）可以相加在一起以重新创建任何图像。
例如，任何 8 x 8 图像都可以由以下 64 个构建块的某种组合构建。然后，压缩算法可以删除对应于小细节的高频信息，而不会大幅改变图像在人眼中的外观。这就是 JPEG 将复杂图像压缩成更小的数据量的方式。
在 1960 年代，数学家詹姆斯·库利 （James Cooley） 和约翰·图基 （John Tukey） 提出了一种可以更快地执行傅里叶变换的算法——恰如其分地称为快速傅里叶变换。从那时起，傅里叶变换几乎每次有信号要处理时都会实施。“它现在已成为日常生活的一部分，”格林加德说。
它已被用于研究潮汐、探测引力波以及开发雷达和磁共振成像。它使我们能够减少繁忙音频文件中的噪音，并压缩和存储各种数据。在量子力学——非常小的物理学——中，它甚至为不确定性原理提供了数学基础，该原理表明不可能同时知道粒子的精确位置和动量。您可以写下描述粒子可能位置的函数;该函数的傅里叶变换将描述粒子的可能动量。当您的函数可以高概率告诉您粒子的位置时（由函数图中的尖峰表示），傅里叶变换将非常分散。无法确定粒子的动量应该是多少。反之亦然。
