在数学界，人们常说“少年得志”是常态，而阿莱西奥·菲加利（Alessio Figalli）的故事却从一条少有人走的岔路开始。
阿莱西奥·菲加利，意大利数学家，苏黎世联邦理工学院教授，因在最优运输理论及该理论在偏微分方程、度量几何和概率方面的应用做出卓越贡献，2018年获得菲尔兹奖。出版过《最佳运输和最小化行动措施》、《蒙日-安培方程及其应用》等书。
少年的他，并没有沉浸在方程与几何的世界，而是在意大利古典的人文文法中学里埋头钻研拉丁语、古希腊语与哲学。直到高中快毕业时，他才因一次偶然的奥数接触，自学转向数学，并考入比萨高等师范学院（Scuola Normale Superiore），走上一条从文科生变身数学家的奇特旅程。
34岁那年，他站上了国际数学家大会的领奖台，成为四位菲尔兹奖得主之一。坦白讲，意大利在数学界的存在感并不算很强，而菲加利的学术成就也离不开两位大师级老师的引领，变分法与度量空间巨擘安布罗西奥（Luigi Ambrosio）与最优传输领域的代表人物维拉尼（Cédric Villani，2010年菲尔兹奖得主）都是他的学术启『明星』️。菲加利继承了老师们的学术路线，沿着最优传输理论这条主干道不断探索，将这一理论向偏微分方程、度量几何等多个方向延展，提出了许多深具影响力的成果。
获菲尔兹奖后，世界各地的邀约纷至沓来。菲加利坦言，自己并不习惯这样的喧嚣。他擅长的还是寻找通向目标的最省路径，用数学语言将自然界的混乱现象，翻译成清晰可解的逻辑秩序。
还有几天，就是菲加利获菲尔兹奖的第七个年头（2018年8月1日），从罗马街头背诵荷马史诗的文学少年到当代最优传输理论界的领军人物，菲尔兹的数学之旅有着怎样的跌宕起伏？
NO.1
文科开局，罗马少年参加奥赛后重燃数学热情
5岁的菲加利在幼儿园拼玩具
1984年4月，阿莱西奥·菲加利（Alessio Figalli）出生于意大利罗马，他的父亲詹纳罗是一位工程学教授，母亲朱塞皮娜则是教授拉丁语和希腊语的高中教师，家里的书架上总是摆满了有关希腊神话和历史的书籍。
小时候的他喜欢踢足球、看动画，和别的小朋友没什么两样。不同的是，自律的他总是选择先做完作业再去玩乐，试图在好成绩和少用功之间找平衡。这种“优化”的思维方式悄然萌芽，也为他后来研究最优传输理论埋下了伏笔。
最优传输理论是研究“如何用最小的成本把一种形状变成另一种”的理论工具，它连接了几何、概率论、偏微分方程、机器学习等多个领域。
13岁那年，本对科学更感兴趣的菲加利在父母的建议下，选择了意大利传统的人文文法中学（可以理解为中国的文科），以便未来可以自由选择任何专业。直到高中三年级（意大利的高中学制为五年），菲加利才在父亲大学里的数学家同事的建议下开始参加奥数竞赛，这也让他对一学就会的数学第一次有了改观，数学中蕴藏的创造与挑战令他重拾热情。
NO.2
由文转理，菲尔兹奖得主的学业也非一帆风顺
在奥赛上，菲加利遇到许多志同道合的朋友，大家都渴望进入比萨高等师范学院（Scuola Normale Superiore）学习，菲加利也不例外。那里不仅是意大利最顶尖的学术殿堂之一，获得奖学金的学生还能免学费和食宿费。2002年，自学了两年数学和物理的菲加利成功考入比萨高师数学专业学习。
意大利比萨高等师范学院（Scuola Normale Superiore）
起初，菲加利的数学基础远落后于同学，连导数都不会算，看着别人已经在学偏导数了，菲加利只有暗暗努力。一年后，他不仅追上了进度，甚至在大二时用不到一周时间就读懂了导师安布罗西奥（Luigi Ambrosio）刚写的一篇高阶论文。安布罗西奥也是解决了希尔伯特第19问题迪乔吉（Ennio De Giorgi，1990年沃尔夫奖得主）的学生，师徒三人一脉相承，不仅推动了意大利的几何分析学派的发展，也让意大利数学在国际舞台上焕发出新的活力。
菲加利博士期间的两位导师，左为意大利比萨高等师范学院教授安布罗西奥（Luigi Ambrosio）；右为法国里昂高等师范学院维拉尼（Cédric Villani），也是2010年的菲尔兹奖获得者。
2007年，菲加利拿到了意大利比萨高等师范学院和法国里昂高等师范学院联合培养的博士学位。在学术之路上，菲加利是幸运的，像安布罗西奥这样好的博导，菲加利还有一位——2010年的菲尔兹奖得主维拉尼。维拉尼不仅是一位传输理论界的代表人物，也是偏微分方程领域大师、1994年菲尔兹奖得主利翁（Pierre-Louis Lions）的学生。在两位导师的指导下，菲加利不仅深入最优传输理论，还对偏微分方程及自然现象的数学建模产生了浓厚兴趣。
菲加利也曾笑称自己是三个学派的产物，意大利、法国和美国这三个地方的经历对他而言非常重要。
NO.3
最优运输，搬书、刮风、冰融背后的数学秩序
菲加利在苏黎世联邦理工学院与学生们合影
博士毕业后，菲加利辗转任教。从罗马到巴黎、从奥斯汀到苏黎世，都留下了他的数学足迹。菲加利还曾坦言自己不太受时差的影响。这个精力旺盛的人在十年间，发表了150余篇论文，这个著作量跟很多快退休的数学家相比也不遑多让。那么，他又是怎样与最优传输理论结缘的呢？
最优传输问题最初要追溯到拿破仑时代，由法国数学家蒙日（Gaspard Monge）在 1781 年提出，其核心问题是：“如何以最小代价将一堆书从一个区域搬运到另一个区域？” 在数学上，这种搬运方式叫做最优映射（Optimal Transport Map），它的结构受一种叫做蒙日-安培方程（Monge–Ampère equation）的非线性偏微分方程控制。但这个方程极其复杂，就像一个数学界的“黑匣子”，很难真正看清楚里面的结构。尤其是在目标区域不是光滑地形时，这个搬运图还是否“平滑”（也就是数学上的正则性），一直悬而未决。
到了20世纪80年代，数学家们在最优运输理论方面取得了一系列重要的理论突破，促使该理论广泛应用于城市规划、工程设计、水动力学、图像处理、形状识别、生物学等多个领域。这些进展也促进了最优运输理论在数学内部的发展，尤其是在黎曼几何和偏微分方程中的应用。
等周不等式的定量稳定性估计公式，即差的表面积与最优运输距离成正比
2007年，菲加利与马吉（Francesco Maggi）及普拉泰利（Aldo Pratelli）合作，借助质量传输理论（Mass Transport Theory），首次对给定表面张力能量下的 Wulff 形状（晶体在热力学平衡状态下理想几何外形的理论模型）做出了精确的稳定性估计。
他们发现，若对晶体加热，导致其形状变化，平均每个点的移动距离正比于所加能量的平方根，说明晶体结构对温和的扰动具有稳定性。这一突破，也将等周问题转化为最优运输问题。
2009年，菲加利与著名分析大师卡法雷利（Luis Caffarelli）合作，在极弱条件下证明了最优传输映射的局部正则性，也就是说哪怕地形不完美，最优“搬运路线”也大概率是可预测、可连续的。
菲加利还把最优传输理论引入到了对半地转方程（Semi-geostrophic Equations）的理解中， “半地转方程”是数学上用来描述大规模大气运动的复杂方程。它的核心问题是寻找两个概率分布之间的最优变换路径。虽然科学家们相信这个方程可以模拟大气与海洋中的大尺度动力学过程，但没人知道是否存在解，又存在多少解。
Sobolev 空间，常在偏微分方程（PDE）中出现，用于表示解的正则性
2014年，菲加利“灵机一动”，借助最优运输理论和蒙日-安培方程，构建出一种全新理解结构，并且确认了这个问题的解不仅存在，而且是唯一的。随后，他与自己的老师安布罗西等人合作，并在三维凸区域内基本给出了完整的解法。这一成果不仅为气象建模提供了可靠的数学基础，也深化了概率论与几何的交叉研究。
用微小粒子的集合来模拟云的形状变化
由此可见，数学家的“天气预报”，并不是告诉我们明天会不会下雨，而是让我们知道判断预测天气的模型是否可靠、是否稳定、是否能被数学精确刻画。
随后，菲加利将研究重心随后拓展至自由边界问题（Free Boundary Problems），对冰块融化过程（经典 Stefan 问题）以及障碍问题（obstacle problem）中的自由边界进行定性与定量分析，他证明了三维情形下，自由边界在“绝大多数”位置是光滑的，仅在孤立奇点处可能失去规则性。此外，他在障碍问题中对奇点集的几何与拓扑结构进行了精细分析，为特定维度下奇点的分层与分类提供了重要进展。
这些问题在数学里，特别是极小曲面几何中受到广泛关注，同时也在物理、生物学、工业和金融等诸多领域中频繁出现。
NO.4
步履不停，数学旅人一直在路上
2018年，34岁的菲加利获得菲尔兹奖。
2018 年，34 岁的菲加利站上了里约热内卢的菲尔兹奖领奖台，获得了数学界最高荣誉。
颁奖词写道：“菲加利对最优运输理论及其在偏微分方程、度量几何、概率论等多领域的深刻贡献，赢得了这项桂冠。”
菲加利获菲尔兹奖颁奖词
这不仅是对他过去十年成就的认可，更是对他方法论深度与广度的赞誉。即使风吹云动，冰融雪消，晶体扭曲，我们依然可以通过数学找到稳定、清晰、有序的方式理解世界。到这，数学旅人的脚步还在继续。近几年，菲加利兼任华为拉格朗日数学与计算中心顾问，他仍在最优传输领域继续深耕，并将其拓展到更多现实世界的复杂系统中。
以最优运输理论为圆心，菲加利将其辐射☢️到了偏微分方程、度量几何等多个领域。他不仅推动了理论本身的发展，也让最优运输从纯粹理论跃升为跨学科的“通用语言”，揭示了混沌世界中隐匿的秩序。正如他自己所说：“真正令人兴奋的是当你看到一个问题的隐藏秩序，你可以用数学把它精确地讲清楚。
菲加利喜欢用数学突破边界，也用自己的实际行动告诉我们：在看似混沌的世界中，总有秩序可循，在边界之外，总有新的可能。
A Traveler Who Finds Stability in the Natural World | Quanta Magazine
AlessioFigalli-DHC.pdf
The Work of Alessio Figalli by Allyn Jackson
Fields Medal Winner 2018 Alessio Figalli
