量子计算的发展正逐步逼近“量子优势”的临界点，然而，随着系统规模的扩大，量子态的模拟和优化问题变得愈发复杂。传统的经典模拟方法如基于Gottesman-Knill定理的Clifford电路模拟、低纠缠生成电路的张量网络方法、以及费米子高斯态的Wick定理等，虽在某些场景下有效，但其适用范围有限。近年来，李代数（Lie Algebra）作为一种数学工具，在量子控制、量子编译和变分量子算法中展现出巨大潜力。
9月22日，美国洛斯阿拉莫斯国家实验室、牛津大学、Quantinuum公司组成的研究团队在《Physical Review Research》期刊上发表题为“Lie-algebraic classical simulations for quantum computing”（基于李代数结构的量子动力学经典模拟框架“g-sim”）的研究论文，Matthew L.Goh为论文第一作者与论文通讯作者。
本研究提出了一种基于李代数结构的量子动力学经典模拟框架“g-sim”。该框架打破了传统模拟的算力桎梏，不仅能高效处理含噪声的量子演化，还能解决变分量子算法优化、量子电路合成等核心问题，成功实现200比特量子系统的经典模拟。
此外，研究人员通过比较“g-sim”与部分基于威克定理的模拟方法的局限性，发现两者在不同类型的态或观测量上效率低下，暗示经典模拟资源存在多样且不等价的本质。
研究背景
量子计算的核心优势源于量子态的叠加与纠缠，但这也使得经典模拟量子系统的难度随比特数呈指数级增长。例如，模拟n个量子比特的系统需要存储2ⁿ维的希尔伯特空间态向量，当n=30时，所需存储空间已超过1TB；当n=50时，更是达到天文数字级的1PB，远超当前超级计算机的存储能力。
为突破这一困境，研究者们开发了多种针对性模拟方法，如基于Gottesman-Knill定理的Clifford电路模拟、低纠缠生成电路的张量网络方法，以及费米子高斯态的Wick定理等，这些方法虽在特定场景下有效，但均存在适用范围窄的问题。
本论文研究团队注意到，许多量子系统具有特殊的李代数结构，当这种李代数的维度随系统规模多项式增长时，就可能存在高效经典模拟的可能性。这一发现催生了“g-sim”框架的开发。这一框架的核心创新在于，不再直接模拟量子态，而是利用量子动力学的李代数结构，将模拟复杂度从“指数级”降至“多项式级”。
理论方法
“g-sim”的核心思想是利用量子动力学过程中的李代数结构来实现高效模拟。在量子力学中，量子系统的幺正演化可由一组哈密顿量生成元张成的李代数描述，而李代数的维度（dim(g)）往往远小于希尔伯特空间的维度（2ⁿ）。当dim(g)随系统规模n呈多项式增长时（即dim(g))∈O(poly(n))），经典模拟便可实现高效计算。
图：“g-sim”理论框架及其应用
“g-sim”框架的关键突破在于：
- 多可观测量乘积：“g-sim”可支持计算多个不可约表示中的算子乘积；
- 噪声模拟：通过引入“正规化子”（Normalizer）的概念，“g-sim”可精确模拟含Pauli噪声的量子演化。Pauli噪声算子属于irrep的正规化子，其作用可通过伴随表示直接刻画，无需采样噪声轨迹（传统方法需百万次采样才能达到相同精度）；
- 梯度计算：针对变分量子算法（VQA）的优化需求，“g-sim”将反向传播与伴随表示结合，可高效计算期望值对电路参数的梯度，复杂度与模拟本身相当。
实验验证
研究团队通过多组实验验证了“g-sim”的性能，涵盖无噪声/有噪声模拟、变分算法优化、电路合成等场景，系统规模最高达200量子比特。
（一）200比特系统的高效模拟
实验以“横向场XY模型（TFXY）”为测试对象，初始态为“魔法态”（一种具有指数级费米子范围的非高斯态，传统维克定理无法模拟），目标是计算关联函数的动力学演化。
- 无噪声模拟：在单CPU核心上，200比特系统的模拟仅需16分钟，且能清晰捕捉关联在整个量子链上的传播；
- 有噪声模拟：引入Pauli噪声通道（每门错误概率p=3×10⁻⁴），“g-sim”可精确模拟噪声导致的关联衰减，结果显示关联强度下降6个数量级，但仍能观测到远处量子比特的振荡。
图：使用“g-sim”模拟200量子比特的无噪声和有噪声动态
对比传统“态向量模拟”（复杂度O(2ⁿ)），“g-sim”的优势在n≥20时尤为显著。态向量模拟在n=30时已无法运行，而“g-sim”可轻松处理n=200的系统。
（二）变分量子算法优化
变分量子本征求解器（VQE）是近term量子计算的核心算法，但面临两大难题：过参数化（参数过多导致训练困难）和贫瘠高原（梯度随比特数指数级衰减）。“g-sim”通过大规模经典模拟，为这些问题提供了新的解决方案。
1）过参数化现象的规模化研究
“过参数化”是指当电路参数数量超过李代数维度（dim(g)）时，算法训练难度突然下降的现象。研究团队利用“g-sim”模拟了n=20~50比特的VQE，研究发现：
当参数数量达到dim(g)的0.5倍时，训练成功率从0%骤升至80%以上；这一临界阈值与系统规模n无关，验证了“过参数化由李代数维度决定”的理论预测。
图：在大型系统规模下过度参数化
2）预训练策略：缓解“贫瘠高原”
针对LTFIM模型（纵向-横向场伊辛模型，其李代数维度为指数级，传统VQE难以训练），研究团队提出“g-sim预训练”方案：
先在可模拟的“辅助模型”（如TFIM，李代数维度O(n²)）上用“g-sim”训练电路参数；将训练后的参数作为初始值，迁移到目标模型（LTFIM）上微调。
实验结果显示：预训练后的VQE不仅初始误差降低3个数量级，梯度方差也从“指数衰减”变为“多项式衰减”，有效缓解了贫瘠高原问题。
图：使用“g-sim”针对LTFIM进行预训练VQE
（三）量子电路编译与合成
“g-sim”为量子电路编译与合成提供了新思路，即找到低深度电路，实现目标幺正演化。传统合成方法需最小化“希尔伯特-施密特损失”（复杂度O(4ⁿ)），而“g-sim”通过李代数的伴随表示，将损失函数转化为低维矩阵运算。
实验中，研究团队用该方法合成了TFXY模型的时间演化算子，结果显示：合成电路的误差（L_HST）小于10⁻⁵，远优于相同深度的Trotter近似；即使对于n=50比特的系统，合成过程仍可在单CPU上完成。
图：使用“g-sim”进行电路编译的规模性
（四）50比特量子相位分类器
作为QML的应用案例，研究团队用“g-sim”训练了一个50比特的量子相位分类器，目标是区分TFIM模型的“无序相”与“反铁磁相”。训练过程完全在经典计算机上完成：
- 生成“伪装”的TFIM哈密顿量（H_disguised=VH_TFIMV†，V为随机幺正算子）；
- 用“g-sim”模拟VQE，获取不同相位下的基态在李代数基下的期望值；
- 训练21层变分电路，最小化分类损失。
测试结果显示：该分类器在unseen数据上的准确率达到100%，且可通过量子硬件实现。只需测量李代数基的期望值，再通过经典后处理完成分类。
图：带有经典高效电路的受监督OML
研究成果
本研究提出了一种基于李代数结构的量子动力学经典模拟框架“g-sim”，成功实现了对200量子比特系统的精确高效仿真，并拓展了其在变分量子优化、噪声模拟和量子机器学习等任务中的应用。这一框架具有四大核心价值：
一是突破算力瓶颈。“g-sim”框架首次实现200比特量子系统的精确经典模拟，且噪声模拟无需采样，精度远超传统方法。
二是拓展模拟场景。“g-sim”框架与Wick定理互补。Wick定理适用于“一般可观测量+特殊态”，而“g-sim”适用于“一般态+特殊可观测量”，两者覆盖了更多量子系统。
三是赋能变分量子计算。“g-sim”框架提供VQA的规模化预训练、梯度计算工具，缓解贫瘠高原问题，为近term量子算法优化提供新途径。
四是推动量子-经典协同。“g-sim”框架可作为量子硬件的“基准测试工具”，用于验证量子设备的性能；也可作为QML的“经典预训练框架”，降低量子硬件的训练成本。
“g-sim”框架的提出，不仅为量子模拟提供了一种高效工具，更展示了“数学结构驱动量子计算创新”的研究范式。在量子硬件尚未实现容错的今天，经典模拟仍是推动量子技术发展的关键支撑，而“g-sim”的出现，无疑为这一领域注入了新的活力。
参考链接
https://journals.aps.org/prresearch/abstract/10.1103/3y65-f5w6
