微分这一“镜头”，就相当于显微镜🔬，能让我们观察到非常细小的部分。积分则是将这些细小的部分连接、组合起来，让我们将研究对象再次视为曲线来理解。
先分割再连接组合，从某种意义上来说，微积分是非常简单的思考方法，而这种简单的思考方法却发挥出了惊人的威力。
在数学中，能发挥如此威力的构想并不多见。
来源 | 《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》
作者 | [日]远山启
译者 | 武晓宇
01
微分与积分的力量
其实，只要稍微学过一点微积分的人，就能知道其重要性。假如没有微积分，现代数学可能只能发展到现在程度的三分之一左右。
同样，如果没有微积分，现代天文学、物理学也都会失去其体系中的重要支柱，像如今这种程度的发展也无从谈起。可以说，如果不使用微积分，那么自然方面的研究几乎无从下手。
然而，微积分这么重要的东西，其思考方法却简单至极，只不过是对笛卡儿四条原则中的第二原则和第三原则的一种完美应用而已。
简单来说，微积分相当于帮助我们观察种种现象的“精巧镜头”。如前文所述，对于弯曲的东西，用微分这一“镜头”就能将其近似为直线，从而使得研究难度大幅度降低。微分这一“镜头”，就相当于显微镜🔬，能让我们观察到非常细小的部分。积分则是将这些细小的部分连接、组合起来，让我们将研究对象再次视为曲线来理解。先分割再连接组合，微积分就是这么简单的构想。如果没有微积分，我们就无法研究太阳系的各个行星是如何围绕太阳运动的，也就无法发现太阳系天体的运动法则。
为了解决太阳系天体运动这个在当时来说至关重大的问题，牛顿构想出了微积分这一方法。前文中曾提过，牛顿将伽利略、开普勒的研究连接了起来，创建了牛顿力学。行星具体是怎样运动的，其实在牛顿出生之前，开普勒就已经研究清楚了，并创立了今天所说的开普勒定律。
02
开普勒定律
开普勒自己虽然没有进行天文观测，但他的老师天文学家第谷·布拉赫（1546—1601）是当时非常有名的天体观测研究者。也就是说，开普勒推导出行星运动的三条基本定律，靠的仅仅是第谷积累的庞大的天文观测数据。当时还没有望远镜🔭，天文观测要靠肉眼来观察星空，而开普勒的眼睛不太好，无法观察星星。总之，开普勒是从前人的观测数据中推导出了行星运动的三条基本定律。
虽然有许多行星，但开普勒首先研究的是火星的运动规律。火星紧邻地球，位于地球的外侧。开普勒第一定律指出了火星的运动规律，即火星以椭圆轨道围绕太阳运动。椭圆有两个焦点，太阳就位于椭圆轨道的其中一个焦点上。
“所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆的，太阳处在椭圆的一个焦点上。”
这便是开普勒第一定律。
开普勒第一定律虽然搞清楚了行星运动的轨道，但无法确定行星在轨道上的各个点处以何种速度运动。于是，为了解决这个问题，开普勒第二定律就诞生了。
如图1-2所示，假设我们将太阳和火星用线连接起来，那么此时火星的运动就如同汽车前挡风玻璃上的雨刮器那样。这个火星与太阳之间形成的“雨刮器”，其扫过的面积在相等的时间内总是相等的。因此，它也被称为“面积定律”。
如图1-2中的情况所示，由于火星与太阳的连线扫过的面积总是恒定的，因此可以得知火星在远离太阳时，其速度会变慢；靠近太阳时，其速度会变快。
开普勒第二定律虽然写在纸上只有寥寥数语，但其发现过程非常艰辛。
行星的运行轨道是椭圆的，这其实也是一个突破性的发现。在开普勒之前，大家都以为行星的运动轨道是圆的。但通过对观测数据的长期研究，开普勒逐渐注意到行星的轨道似乎像被轻微地挤压过的圆一样。圆被轻微挤压就是椭圆，于是开普勒提出了相应的假设，并通过观测数据证实了这个假设。
提出假设是科学研究中经常使用的一种方法，大部分假设可能都不成立，但也有偶尔成立的时候。我们从结果上来看，似乎是研究者直接把成立的假设发表了出来，但在科学研究中，几十个、几百个假设中可能才有一个是成立的。
开普勒就经历了这种艰辛的探索过程，他在庞大的观测数据中苦心孤诣，花费了非常长的时间才发现了开普勒第二定律。
开普勒第三定律的发现也经历了相当长的时间，与发现第二定律之间相距约有10年。第三定律描述的是行星轨道的大小与其公转时间之间的关系，具体内容是“行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比”。这个定律，对于围绕地球运动的人造卫星也是成立的。
有了开普勒第一定律和第二定律，至少就可以确定某个行星的运动情况。如果我们将其翻译为瞬间运动的定律，也就是对其进行微分的话，情况会如何呢？如果不持续观察行星完整公转一周，就无法用开普勒定律确定其运动情况。也就是说，如果没有对火星运动的长时间持续观测，那么就无法把握火星的运动情况。
那么，有没有方法能在非常短的时间内确定其瞬间运动的情况呢？这时就需要使用微分，使用微分就可以把握行星的瞬间运动情况。用微分表达的行星瞬间运动情况，也与牛顿的万有引力定律相合，即太阳和火星互相被引力吸引，这种引力的大小与二者距离的平方成反比。
牛顿的万有引力定律与开普勒定律在本质上是相同的，只不过表达的方式不同。开普勒定律需要观察行星公转的整体时间才能确定行星的运动情况，牛顿的万有引力定律则是把握天体瞬间运动的定律，二者在这一点上是大不相同的。
03
微分、积分与牛顿力学
牛顿的万有引力定律也可以看作微分定律，即在无穷小的时间中、在无穷小的空间范围内进行观察的定律。牛顿的万有引力定律是关于力的定律，即力与加速度成正比。这里的加速度，就需要在无穷小的时间中、在无穷小的距离之间进行观察，才能计算出来。
所以从这个意义上说，牛顿的万有引力定律可以说是微分定律，而开普勒的定律则可以说是积分定律。牛顿用微分定律重写了开普勒的积分定律。如果将牛顿的微分定律还原为积分定律，则与开普勒定律完全一致。
也就是说，将开普勒的积分定律用笛卡儿的第二原则进行细分，就得到了牛顿的万有引力定律，而将其再次连接、组合起来的话，又会得出原来的开普勒定律。
积分定律与微分定律在本质上是相同的，二者可以相互转化，仅仅是表达方式不同而已。不过，从难易程度上来说，微分定律要更加容易操作，也更简单。如果仅仅是考察火星的运动情况，那么使用开普勒第一定律和第二定律所构建的体系还是可以应对的。但是，如果要考察其他行星（比如土星或木星）的运动情况，并将其纳入第一定律和第二定律的体系中，那么无论如何都需要开普勒第三定律。将越多大小不同的行星纳入开普勒的体系中，对第三定律的需求就会越高。
像开普勒这样悲惨境遇的人，在科学家中也是少有的。当时的德国正处于相当于日本战国时代一样的乱世，如果大家读过《猎巫》一书就会多少了解一些背景。当时，开普勒的母亲经受了“女巫审判”，遭受了残忍的刑罚。开普勒为了救他的母亲，也吃尽了苦头。可以说，开普勒的一生几乎都是在苦难与贫困中度过，但他在这样的人生中依然为世人留下了开普勒定律。开普勒定律虽然写在纸上不满一页，但它是科学史上第一级别的重要发现。
如前文所述，牛顿用近乎完美的定律描述了太阳系中太阳与行星之间的运动规律。牛顿的万有引力定律问世后，科学不仅仅能用来说明过去到现在的现象，甚至变得可以预测未来了。例如，科学可以预测下一次日食将于何年何月何日何时何分开始，其过程将历时几分钟几秒。像科学所具有的这种预测能力，是可以进行实证的，而这正是科学的独特魅力，也是牛顿力学所带来的强大威力。因此，牛顿力学的诞生，让科学发生了重大变化。牛顿时代的人，恐怕对这种天翻地覆般的转变大为吃惊。
科学能这样精准地预测未来，这让当时的人们觉得科学已经变得无所不能。虽然有些夸张，但这种思潮还是自然而然地汹涌而至。其实，从某种意义上来说，太阳系的运动规律是极其简单、单纯的，所以其未来的情况才能被预测到。
但是，一般的现象并不像太阳系天体的运动那样单纯，所以无法精准预测。例如，纸片会以何种方式掉落，这个过程其实非常复杂。不过，牛顿力学中所使用的数学工具可以解决这类问题。这种数学工具便是微积分，特别是其中的微分方程。使用微分方程，我们可以对复杂现象进行分析和预测。有人认为，世间万物似乎都可以用微分方程来进行分析和预测。虽然有些夸张，但“数学是万能的”这一观点自然而然地出现了。由此也能看出，牛顿力学给当时人们的认知带来了怎样的巨大冲击。
天体的运动非常单纯，所以才能进行精准预测。越是对于类似天体运动这种单纯的情况，微积分越能发挥出强大的威力。
以笛卡儿为起点的近代数学，其中心便是由牛顿、莱布尼茨创立发展而出的微积分。如前文所述，微积分相当于精巧的相机📷️镜头，能帮助我们观察各种现象。与玻璃制成的相机📷️镜头不同，微积分的这种“镜头”能让我们细致地观察世界，并且对世界中的现象进行预测。
与古代、中世纪的数学相比，近代数学的威力可谓大幅增强。
