1895年前后，普朗克研究黑体辐射☢️问题，在大量的事实面前，普朗克清醒地认识到，两个公式都包含一定的真理，现在须把两者统一起来。1900年，他采用简单的内插法，把两个公式综合起来建立了著名的普朗克公式。
其中c是光速；k是玻尔兹曼常数；T是黑体的绝对温度；h称普朗克常数。
1900年10月19日在德国物理学会的一次会议上普朗克报告上述公式。那天晚上，鲁本斯把他所得到的数据与普朗克公式作了仔细的比较，他的比较比普朗克仔细得多。他发现由普朗克公式得出的结果非常精确，其精确性超出以往任何一个经验公式。第二天，他就拜访了普朗克，他满有信心地认为，这个公式一定代表着某个带有根本性的真理，它与实验数据的一致绝非巧合。于是普朗克开始寻找这个公式的理论基础。
引自《科学世界》2025年第9期
普朗克不愧是一个敢于冲破传统束缚观念的科学勇士，以实验事实为依据，背离经典理论，提出了能量不连续的新概念，从而由理论出发导出了该公式。他指出，物体辐射☢️与吸收的能量都是分立的，每一份能量的取值是最小能量ε0=hν的整数倍，ν是辐射☢️频率，为了使实验结果与黑体辐射☢️实验数据一致，取h=6.885×10-27ergs-1，这个数据与现在采用的数值惊人地一致。这就是普朗克在1900年12月14日发表的能量子假设。它的提出，不仅是对经典物理学的改造，而且标志着物理学上一场伟大革命的开始，开辟了现代物理学的新纪元。
虽然发现了公式，但普朗克对其意义（解释）感到很困惑。黑体辐射☢️是构成物体的原子变成高温，即高能状态后，将部分能量以光的形式释放出来而产生的现象※。普朗克意识到，如果不考虑作为光释放出的能量的量存在“最小单位”，普朗克公式就不成立。假设能量的最小单位的量是“10”，能量总量就只能是“250”“590”等以10为“刻度”的值（离散的值）。（当时还没有证实存在原子，普朗克假设了接近原子的“振子”这一概念。）
普朗克将最小单位的能量“块”命名为“量子（能量子）”。“量子假说”认为能量存在不可再分割的最小单位，这完全超出了以往物理学的常识。因此，普朗克自己当时也不认为能量真的存在最小单位，而只是将量子当作一种数学技巧，也就是让公式成立的形式化的东西。
正当大多数物理学家对解释光电效应实验一筹莫展的时候。1905年，爱因斯坦大胆提出：在空间传播的光不是连续的，而是一份一份的，每一份叫做光量子，简称光子；光子的能量与它的频率成正比，E=hν。
根据光量子假说，光无非是一束粒子流，光的强度决定于光子的数目，而光子的能量决定于光子的频率。物质里的电子要脱离物质表面，必须克服物质内部原子对它的吸引力作用而做功，这个功称为脱出功。由光电效应方程
能量为hν光子打到物质表面时，它的能量立刻被电子吸收。若这个光子频率足够大，使电子得到的能量大于脱出功，电子就可以逸出物质表面，即发生光电效应；假如光子频率较小，电子得到的能量小于脱出功，则不管光强多大，都不会发生光电效应。对于不同的物质，能够引起光电效应的光子的最小频率是不一样的。这就很自然地解释了光电效应的4个实验结果。
爱因斯坦的光子说是普朗克量子说的进一步发展。它揭示了光的本性。
对于1923年诺贝尔物理学奖得主密立根(1868-1953)，大家知道得最多的是密立根油滴实验，他发现油滴上电荷值总是e的整数倍，这里e=1.6×10-19库仑，是基本电荷单位。实际上，密立根在1912-1915年间，利用复杂精密的仪器和处于高真空中的样品检验了爱因斯坦1905年提出的光电效应关系。在照射光的频率为ν的情况下，他测量了遏止电子从金属中逸出所需的最小电压Vmin验证了爱因斯坦关系
从1900-1904年,几乎没有一篇文章提及普朗克的工作，普朗克成果的传播得益于爱因斯坦的光量子假说。
1923年，康普顿利用晶体分光计测量并解释了受到散射特别是受到原子序数较小的物质散射时的波长变化。他指出这个效应是X射线🩻被物质中的弱束缚电子散射，遵从能量、动量守恒定律后所表现出来的行为，称为康普顿效应。
普朗克、爱因斯坦已指出光子的能量为Ｅ＝hν，而康普顿效应第一次明显表示，X射线🩻光子具有量子化的动量，从而再次证实了光子说的正确性。康普顿由此荣获了1927年诺贝尔物理学奖。
对于原子光谱实验的困难，1913年，丹麦物理学家玻尔(1885-1962) 迈出了决定性的一步。他认为，物理学家卢瑟福(1871-1937)建立的原子"行星" 模型基本上是合理的，在此基础上，玻尔吸取量子说与光子说的成果，建立了新的原子模型：原子中的电子只能沿着一组特殊的轨道运动，电子在这些特殊的轨道上处于稳定状态(即定态)，既不吸收也不发出辐射☢️；当电子从一个定态跃迁到另一个定态，也就是从一个轨道跳到另一个轨道时，才能发生吸收或发射现象，吸收或发射电磁波的频率。式中E1、E2分别是定态1和定态2的能量，h是普朗克常数。
而为了确定电子可能运动的轨道，玻尔提出了量子化条件：
索末菲推广了玻尔的量子条件，使得它可以应用于多个自由度的情况。这样对于只有一个价电子（Li,Na,K等）的复杂原子光谱也能很好地解释。
爱因斯坦认为：“凭这一小点既不保险而有互相矛盾的理论基础，居然足以使玻尔这样一位具有独特直觉和洞察力的人发现了光谱线的主要规律……这对我来说真是个奇迹。”
固体比热的量子解释。把固体中的原子看作谐振子，原子的平均能量为：
能量子假说还较好地解释了固体的比热。
量子力学的基本内容
1 薛定谔方程是微观粒子运动必须遵循的规律
它揭示了微观世界的量子性。非相对论量子力学中可精确求解的问题：1）一维无限深势井隧道贯穿效应；2）一维谐振子；3）氢原子问题；4）微扰论解决跃迁问题。
2 微观世界的物理现象遵循统计性的规律
微观世界的统计规律性和微观粒子具有波动性是紧密联系的，量子力学理论建立后，就提供了一套方法，可以把测量结果所服从的统计规律推算出来。这样，只要知道微观粒子所处的态，就可以事先计算出在测量某一个力学量时，测量结果将有百分之几的几率是它的某一本征值。
3 测不准关系
历史发展
(1)海森堡在量子力学研究中感到困惑的疑难首先是：既然在量子理论中，不需要粒子路径的概念，那如何解释在云室里观察到的粒子径迹呢?
(2)经过几个月的苦死冥想，1927年初海森堡记起与爱因斯坦的讨论。他认为："一个完善的理论必须以直接可观察量作依据；爱因斯坦认为：在原则上，试图单靠可观察量去建立理论，那时完全错误的，实际上，正好相反，是理论决定我们能够观察到什么东西。由此领悟到，云室里的径迹不外是一连串凝结起来的小水珠，这些水珠比电子大得多，所以自然不可能给出电子的准确位置和动量也就是说，云室里的径迹不可能精确表示出经典意义下的电子路径和轨迹。而只能给出一种模糊的描述。
(3)在排斥了微观粒子的绝对精确的经典式轨道后，海森堡转而研究量子理论的要求对于经典描写的限制，如对粒子坐标和动量观察的不确定度两者之间是否会满足一定的条件。
(4)随后他用高斯型波包作为例子，定量地导出了他的不确定关系。
(5)1926年，狄拉克和约当分别提出了量子力学的变换理论，从坐标q表象到动量p表象的变换理论里，狄拉克和约当亦已分别明确指出，在量子理论里，q和p 两者不能同时有确定的数值。当海森堡把论文的草稿寄给泡利和玻尔后，泡利看后回信大加肯定和鼓励；而玻尔看后对结果是欣然同意的，但在对结果的解释观点上认为波粒二象性应当成为量子理论解释的合适的出发点。
(6)1927年秋天，玻尔在科莫会议上正式提出乐互补原理，并且果然通过波粒二象性的论证重新导出了测不准关系。
争论：
1）测不准关系究竟是量子力学理论中具有独立逻辑地位的原理，还是在前面几个基本假设基础上所得到的推论；
2）"不确定度"是指对单个微观过程进行测量的可能误差， 还是在相同条件多次测量的统计偏差。
李建林 20250901 摘录20020615“量子力学专题讲座”资料
