伯克霍夫是微分方程、动力系统和混沌理论等领域的大家，在其中多有建树，同时也继承并发展了庞加莱在此的诸多研究工作。本文是伯克霍夫对《庞加莱文集》第一卷的书评。在此文中，作者较为系统和具体地总结庞加莱的微分方程及相关研究；同时，此文还涉及庞加莱的微分方程研究与他的拓扑和自守函数研究的相互关系(可参考《返朴》过往文章，见文末“相关阅读”)。这对我们理解和探究庞加莱及其数学创造活动整体有重要意义。
撰文 | 伯克霍夫（G. D. Birkhoff）
翻译 | 金威
本书是《亨利·庞加莱文集》（The Collected Works of Henri Poincaré；以下简称《文集》）出版的第二本，文集中最先出版的是1916年出版的第二卷[1]。该卷收录了他在一般自守函数领域的贡献，而本卷则主要收录他关于常微分方程、偏微分方程和线性差分方程的研究工作。《文集》的编辑顺序与庞加莱自己的论文集的《分析》（Analyse）部分[2]所载的顺序一致。前两卷中有关《分析》的内容已经在第一卷开始时提及，这对读者很有帮助。后续卷册也将沿用类似的编排计划。
庞加莱非凡数学工作的起点是他于1878年在《综合理工学院学报》（Journal de l'École Polytechnique）上发表的《关于微分方程定义的函数性质的注记》（Note sur les propriétés des fonctions définies par les équations différentielles）。一个如下的一阶常微分方程系统：
其通常的存在性定理，在函数 Xi 同时消失的奇点(x1,…,xn)的邻域中并不适用。布里奥（Briot）和布凯（Bouquet）曾采用直接方法对特殊情况下的这类奇点进行了研究。他们的研究表明，ψe−λt=const形式的积分发挥了重要作用；此处ψ是x1,…,xn中的收敛幂级数，不含常数项，并假定奇点取在坐标原点。而这样的函数满足相关的线性偏微分方程
庞加莱便着手将这个线性偏微分方程作为理论基础，研究系统 (1) 在此类奇点附近的解。
庞加莱在 1879 年完成的博士论文《关于由偏微分方程定义的函数的性质》（Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles）中阐述了这一成果，该文几乎立即成为经典。一个代表性的结果如下：如果通过变量x1,…,xn的适当线性变换，我们可以将函数Xi简化为λixi+“x1,…,xn的高次项”的形式，其中当i≠j时λi≠λj（一般情形）；并且如果复λ平面上有一条直线，使得点λi落在它的一边，而原点λ=0落在另一侧，则形式级数收敛，且系统(1)在奇点附近的一般积分由n个方程ψi=(i= 1,…,n) 给出。
如果这些限制条件未被全部满足，则只能得到部分结果。事实上，在所有λi都相等的特殊情况下，庞加莱的方法就完全失效了。然而，庞加莱成功地探索了其中各种有启发性的典型例子。对于其一般情况，尽管已取得了很大进展，但迄今为止仍缺乏系统的处理方法。
随着对系统 (1) 的局部解的研究如此成功地开始，庞加莱自然而然地将他的研究成果应用于对大范围内实数解的研究，特别是在最简单的n=2的情况下，此时式 (1) 可以写为
他的伟大论文（memoir）《关于由微分方程定义的曲线》（Sur les courbes définies par des équations différentielles）分四部分发表在《纯粹与应用数学杂志》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées，1881-1886年）[3]上，其中前三部分以精湛的方式论述了这类方程。本论文的第四部分涉及n=3的类似问题。我们可以参考阿达马（Hadamard）在1925年刚刚出版的《莱斯研究所讲座》（Rice Institute Lectures）[4]中对这一工作的分析，读者还可以在其中找到有关这一领域后续发展的参考文献。在庞加莱对n=2的情况的处理中，最基本的是将(x,y)几何地表示为平面或曲面上的一个点，而方程(3)则决定了相应积分曲线的方向。这个方向在上述的奇点Xi=0,(i= 1,…,n)处变得不确定。
庞加莱这篇论文的前三部分可视为最简单的实微分方程系统（即一阶的单个方程）理论的基础。事实上，它们可能永远是这一领域最重要的著作。拉格朗日（Lagrange）、雅可比（Jacobi）和其他数学家将注意力集中在可积情况上，或者至少满足于通过已知的积分尽可能地降低阶数。在天体力学领域，拉普拉斯（Laplace）和后来的理论天文学家一直满足于使用形式级数作为系统计算的手段。但是，庞加莱是第一个从纯粹数学的角度来探讨不可积的微分方程系统的一般问题的人。他在这一研究方向上对n=2的主要研究成果载于上述论文中。他后来在天体力学方面的大部分工作可被视为与n>2的特殊重要情况有关，特别是n减为3时的三体问题。
即使在n=2的情况下，有趣的“位置分析学”（analysis situs）问题[5]也呈现在庞加莱面前。一个重要的问题是[6]：假设给定一个一对一的直接连续变换（direct continuous transformation），将圆周映射到其自身，即 θ1=f(θ)，其中θ是点P的角坐标，θ1是变换后的点P1的坐标。庞加莱证明，总是存在一个唯一的数σ，使得点P在T的第n次迭代后，得到的点Pn所对应的坐标值θn介于nσ−2π和nσ+2π（n= 1,2,3,…）之间。
换句话说，常数σ衡量点P在T的无限迭代下的平均旋转。因此，σ可称为T的“旋转系数”。庞加莱还证明，如果σ/2π是有理的，则存在周期点P，使得Pn=P，在这种情况下，T的结构可视为完全已知。此外，如果σ/2π是无理的，并且圆周的每个点都可以通过不断迭代映到其他每个任意点附近，他证明了变换T在拓扑学上等价于一个纯粹的旋转：ϕ1=ϕ+σ。即使当f(θ)解析时，庞加莱也未能证明上述粗体字部分的假设成立；尽管只要f(θ)是连续的，他就能证明该假设无需满足。当茹瓦（Denjoy）在1932年出色地解决了这个非常困难而又有趣的开放问题[7]，他证明如果f(θ)是连续的，并且全变差（total variation）有限[8]，那么该假设就会自动成立。
正是由于庞加莱试图处理n>3的情况，他才开始了后来的位置分析学研究，因为他自己在《分析》中写道：“为了更进一步，我必须创造一种几何工具，而当我希望深入到三维以上的空间时，却缺乏这种工具。我这是促使我开始研究位置分析学的主要原因。”此外，关于当茹瓦解决的上述具体问题，庞加莱实际上表明，他的一些结果与天体力学中已知事实之间的类比，无疑会使他以后再回到这个问题上来。因此，他在这篇论文中的研究直接导致了他后来在位置分析学和天体力学领域的基础性工作。
庞加莱几乎是同时开始研究上述n=2,3两种情况下的非线性常微分方程，以及n阶线性常微分方程和差分方程的。事实上，虽然他关于线性微分方程和差分方程的第一篇论文发表在1883年的《美国数学杂志》（American Journal of Mathematics）上，但正如他自己所说，大部分结果已经包含在他1880年未获奖的论文中。富克斯（Fuchs）和其他人关于线性常微分方程的研究主要局限于正则奇点的情况——一种非常特殊的情况，而庞加莱则很好地处理了非正则奇点。在这方面，有必要提及物理学家斯托克斯（G. G. Stokes）在更早时（1857年）发表的一篇非常有启发性的论文，题目为“关于出现在发散延拓中的任意常数的不连续性” (On the discontinuity of arbitrary constants which appear in divergent developments）[9]。斯托克斯在文中详细研究了贝塞尔方程在整个复平面内的解的行为；该方程在无穷远处有一个非正则奇点。庞加莱似乎并不知道这篇极具启发性的论文，因为他没有在任何地方提到过它。
庞加莱在这一领域的主要进展是证明了在特定条件下，托梅（Thomé）和法布里（Fabry）的已知形式级数解代表了复平面的适当部分（sector）处线性微分方程的实际解，与斯特林公式作为函数 Γ(n)的渐近表示的意义相同。他在线性差分方程中发现了一个类似的结果。庞加莱在这一领域的论文为给出此类线性方程的一般理论做出了巨大贡献。然而，直到最近，这种方程的一般理论才得以发展。[10]
本卷的最后一篇论文是上文提到的那篇不太令人满意的未获奖论文的第二部分，直至1923年才在《数学学报》上发表。在这里，我们发现了对以下问题的初步处理：对一个具有多项式系数且只有正则奇点的二阶常线性微分方程，如果我们记y1(x)/y2(x)=z，其中y1和y2是两个线性独立解，则x是z的亚纯函数。这个问题由富克斯在1880年提出并部分解决，而庞加莱的文章主要是对富克斯工作的评论（critique）（可参照《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》序曲部分第三节）。在这篇文章中，我们可以找到庞加莱在自守函数理论方面的研究成果，它收录在《文集》第二卷中（可参照《伯克霍夫：庞加莱在自守函数领域的研究》）。
第一卷的读者也将非常感谢德拉奇（Drach）教授所做的认真且非常称职的修订。
参考文献及注释
[1] 我也评论了该卷；见Bull. Amer. Math. Soc., Volume 40, Number 5 (1934), 363-366. 译者注：中译见返朴文章《伯克霍夫：庞加莱在自守函数领域的研究》。
[2] 译者注：Analyse 位于庞加莱文集的卷首。在此部分中，庞加莱扼要地将自己的文集分为七个领域：1. 微分方程；2. 函数的一般理论；3. 纯数学杂项（代数、算术、群论、位置分析）；4. 天体力学；5. 数学物理学；6. 科学哲学；7. 教学、普及、杂项（参考文献、各类报告）。
[3] 译者注：Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 是世界上第二古老、且仍持续出版的数学期刊。它由法国数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville，1809-1882）创立，自 1836 年起在巴黎出版，其影响力极大地刺激了 19 世纪法国数学的气氛。因此在此处该杂志被称为“刘维尔的杂志”（Liouville's Journal），以表示对他的纪念。
[4] The later scientific work of Henri Poincaré, Rice Institute Pamphlets,vol. 20 (1933).
[5] 译者注：即“拓扑学”的原名。
[6] 见其论文第三部分第15 章
[7] Sur les caractéristiques à la surface du tore, Comptes Rendus, vol. 194 (1932)
[8] 译者注：即f为有界变差函数。
[9] Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 10.
[10] 可参见我与 Trjitzinsky 合著的文章, Analytic theory of linear difference equations, Acta Mathematica, vol. 60 (1932), 和另一篇 Trjitzinsky 的文章：Analytic theory of linear，在同刊的vol. 62。
本文译自G. D. Birkhoff, The Work of Poincaré on Differential Equations, Bull. Amer. Math. Soc. 40(5): 363-366 (May 1934).
